Encuentra el valor de x en la ecuación exponencial

Encuentra el valor de x en la ecuación exponencial

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Resolución de ecuaciones exponenciales con logaritmos

La ecuación de la función exponencial de esta gráfica es y=2xy=2^xy=2x, y es la gráfica exponencial más sencilla que podemos hacer. Si te preguntas cómo sería y=1xy=1^xy=1x, aquí tienes su gráfica exponencial:

Arriba puedes ver tres tablas para tres «valores base» diferentes – 1, 2 y 3 – todos ellos a la potencia de x. Como puedes ver, para las funciones exponenciales con un «valor base» de 1, el valor de y se mantiene constante en 1, porque 1 a la potencia de cualquier cosa es sólo 1. Por eso la gráfica anterior de y=1xy=1^xy=1x es sólo una línea recta. En cambio, en el caso de y=2xy=2^xy=2x e y=3xy=3^xy=3x (que no aparecen en la imagen), vemos una curva cada vez más pronunciada para nuestra gráfica. Esto se debe a que, a medida que aumenta x, el valor de y aumenta cada vez más, o lo que llamamos «exponencialmente».

En esta lección, sólo repasaremos funciones exponenciales muy básicas, por lo que no es necesario que te preocupes por algunas de las variables anteriores. Pero, para que tengas acceso a toda la información que necesitas sobre las funciones exponenciales y cómo graficar las funciones exponenciales, vamos a resumir lo que el cambio de cada una de estas variables hace a la gráfica de una ecuación exponencial.

Cómo resolver exponentes con variables

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Ahora que hemos visto las definiciones de las funciones exponenciales y logarítmicas, tenemos que empezar a pensar en cómo resolver ecuaciones que las involucran. En esta sección veremos la resolución de ecuaciones exponenciales y veremos la resolución de ecuaciones logarítmicas en la siguiente sección.

Hay dos métodos para resolver ecuaciones exponenciales. Un método es bastante sencillo pero requiere una forma muy especial de la ecuación exponencial. El otro funciona con ecuaciones exponenciales más complicadas, pero a veces puede ser un poco complicado.

Ahora bien, en este caso no tenemos la misma base por lo que no podemos simplemente poner los exponentes iguales. Sin embargo, con un poco de manipulación del lado derecho podemos obtener la misma base en ambos exponentes. Para ello todo lo que tenemos que notar es que \ (9 = {3^2}\). Esto es lo que obtenemos cuando usamos este hecho.

Resolución de ecuaciones exponenciales con diferentes bases

Este artículo trata sobre la función f(x) = ex y sus generalizaciones de la forma f(x) = abx. Para funciones de la forma f(x,y) = xy, véase Exponenciación. Para funciones de la forma f(x) = xr, véase Función de potencia.

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se llama a veces la función exponencial natural para distinguirla de las otras funciones exponenciales. El estudio de cualquier función exponencial puede reducirse fácilmente al de la función exponencial natural, ya que

Como funciones de una variable real, las funciones exponenciales se caracterizan singularmente por el hecho de que la tasa de crecimiento de dicha función (es decir, su derivada) es directamente proporcional al valor de la función. La constante de proporcionalidad de esta relación es el logaritmo natural de la base b:

Resolución de ecuaciones exponenciales con e

La mayoría de las ecuaciones exponenciales no se resuelven limpiamente; no habrá forma de convertir las bases para que sean iguales, como la conversión de 4 y 8 en potencias de 2. Para resolver estas ecuaciones más complicadas, tendrás que usar logaritmos.

Tomar logaritmos nos permitirá aprovechar la regla del logaritmo que dice que las potencias dentro de un logaritmo se pueden desplazar por delante como multiplicadores. Al tomar el logaritmo de una exponencial, podemos mover la variable (que está en el exponente que ahora está dentro de un logaritmo) hacia adelante, como un multiplicador en el logaritmo. En otras palabras, la regla del logaritmo nos permitirá desplazar la variable hacia abajo, donde podamos tenerla a mano.

Si esta ecuación me hubiera pedido «Resolver 2x = 32», entonces encontrar la solución habría sido fácil, porque podría haber convertido el 32 en 25, poner los exponentes iguales y resolver «x = 5». Pero, a diferencia de 32, 30 no es una potencia de 2, así que no puedo establecer potencias iguales entre sí. Necesito algún otro método para llegar a la x, porque no puedo resolver la ecuación con la variable flotando por encima del 2; la necesito de vuelta en el suelo, donde debe estar, donde puedo llegar a ella. Y tendré que usar logaritmos para bajar esa variable.



Redactor independiente con experiencia en varios medios digitales de LATAM. Te explico paso a paso tramites e información del día a día en este blog de Ecuador.